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数学基础 - 线代

行列式、迹与特征值的关系​

通过特征多项式, 可以把前两者与特征值建立联系. f(x)=\det(x \bm{E}-\bm{A})=(x-\lambda_1)(x-\lambda_2)\cdots(x-\lambda_n) \tag{＊} 考察其常数项系数, 令 x=0x=0, f(0)=det⁡(−A)=(−1)ndet⁡(A)=(−1)nλ1λ2⋯λnf(0)=\det(-\bm{A})=(-1)^n \det(\bm{A})=(-1)^n \lambda_1 \lambda_2 \cdots \lambda_n ⇒det⁡(A)=∏i=1nλi.\Rightarrow \det(\bm{A})=\prod_{i=1}^n \lambda_i. 反过来, 从 xx 的最高阶开始比较, 我们发现 xnx^n 系数只能为 11, 故考察 xn−1x^{n-1} 阶: 对 (＊)(＊) 式右边的多项式, 展开即得系数为 −∑i=1nλi,\displaystyle{-\sum_{i=1}^n \lambda_i},
而对左边的行列式: det⁡(x−a11−a12⋯−a1n−a21x−a22⋯−a2n⋯⋯⋱⋯−an1−an2⋯x−ann)\det \begin{pmatrix} x-a_{11} & -a_{12} & \cdots &-a_{1n} \\[0.5em] -a_{21} & x-a_{22} & \cdots &-a_{2n} \\[0.5em] \cdots & \cdots & \ddots & \cdots \\[0.5em] -a_{n 1}&-a_{n 2}&\cdots&x-a_{n n} \end{pmatrix}, 考虑第一行展开, 只有选取第一个元素才得到 xn−1x^{n-1} 项, 以此类推可得系数为−∑i=1naii=−tr(A)\displaystyle{-\sum_{i=1}^n a_{ii}}=-\mathrm{tr}(\bm{A}) ⇒tr(A)=∑i=1nλi.\Rightarrow \mathrm{tr}(\bm{A})=\sum_{i=1}^n \lambda_i. 也可以考虑韦达定理, f(x)=0f(x)=0 的根为 λi\lambda_i, 易得同样结果.

元素条件的等价​

  1. 每一行的和为 a⇒A(11⋯1)T=a(11⋯1)T,a \Rightarrow \bm{A}\begin{pmatrix}1&1&\cdots&1\end{pmatrix}^T=a\begin{pmatrix}1&1&\cdots&1\end{pmatrix}^T,
    一个特征值 λ=a,\lambda=a, 对应 ξ=(11⋯1)T\bm{\xi}=\begin{pmatrix}1&1&\cdots&1\end{pmatrix}^T
  2. 第 1(i)1 (i) 列为 B⇒A(10⋯0)T=bT\bm{B} \Rightarrow \bm{A}\begin{pmatrix}1&0&\cdots&0\end{pmatrix}^T=\bm{b}^T
    例如, 假设已知 A∈R3×3\bm{A}\in \mathbb{R}^{3\times3} 的三个特征向量 ξ1,ξ2,ξ3⇒\xi_1, \xi_2, \xi_3 \Rightarrow 用 ξi\xi_i 分解 (10⋯0)T,\begin{pmatrix}1&0&\cdots&0\end{pmatrix}^T, 则容易解得 A\bm{A} 的三个特征值

基本方法​

0. 幂零矩阵与零化多项式​

若存在多项式 f(x)∈F[x]f(x) \in \mathbb{F}[x] 使得 f(A)=Of(\bm{A}) = O, 则称 f(x)f(x) 为 A\bm{A} 的零化多项式. 次数最低的称为最小多项式 mA(x)m_A(x), 且有 mA(x)∣g(x)m_A(x) \mid g(x).

Cayley-Hamilton 定理:

设 f(λ)=det⁡(λI−A)f(\lambda) = \det(\lambda I - \bm{A}) 为 A\bm{A} 的特征多项式, 则 f(A)=Of(\bm{A}) = O.
特征多项式必然是零化多项式(存在性)
λ\lambda 是 A\bm{A} 的特征值, 当且仅当 mA(λ)=0m_A(\lambda) = 0

若存在正整数 kk 使得 Ak=O\bm{A}^k = O, 则称 A\bm{A} 为幂零矩阵. 使 Ak=O\bm{A}^k = O 成立的最小正整数 kk 称为 A\bm{A} 的幂零指数.

Ak=0 的最小正整数 n⇒\bm{A}^k =0 \text{ 的最小正整数 } n\Rightarrow

  1. A \bm{A} 的特征值全为 00.
  2. A\bm{A} 的特征多项式为 χA(λ)=λn\chi_A(\lambda) = \lambda^n.
  3. A\bm{A} 的迹 tr(Ak)=0\text{tr}(\bm{A}^k) = 0 对于所有 1≤k≤n1 \le k \le n 均成立.
  4. A\bm{A} 相似于一个严格上三角矩阵.

若 AA 是幂零矩阵，则 I−AI - A 必然可逆，且其逆矩阵可以展开为 (I−A)−1=I+A+A2+⋯+Ak−1(I - A)^{-1} = I + A + A^2 + \dots + A^{k-1} 两个幂零矩阵相似，当且仅当它们对于所有 i∈{1,…,n}i \in \{1, \dots, n\}，其幂的秩 r(Ai)r(A^i) 均相等。

块对角矩阵特征值 (Block Diagonal Matrix Eigenvalues)

  1. 结构定义 (Definition): 设 M=diag(A1,A2,…,Ak)M = \text{diag}(A_1, A_2, \dots, A_k)，其中 AiA_i 为 ni×nin_i \times n_i 的方阵。

  2. 特征多项式 (Characteristic Polynomial): det⁡(M−λI)=∏i=1kdet⁡(Ai−λI)\det(M - \lambda I) = \prod_{i=1}^k \det(A_i - \lambda I)。这是由行列式的分块性质 (Block property of determinants) 直接导出的。

  3. 特征值集合 (Spectrum / 固有値集合): σ(M)=⋃i=1kσ(Ai)\sigma(M) = \bigcup_{i=1}^k \sigma(A_i)。MM 的特征值完全由各子块特征值的并集组成。

  4. 重数性质 (Multiplicity): λ\lambda 在 MM 中的代数重数等于其在各子块 AiA_i 中的代数重数之和。

  5. 例外情况 (Exceptions): 对于块三角矩阵 (Block Triangular Matrix)，上述关于特征值的结论依然成立，但其特征向量 (Eigenvectors) 的构造与对角矩阵存在显著差异。

伴随矩阵的特征值非奇异情形：若 ∣A∣≠0|A| \neq 0，设 AA 的特征值为 λ1,λ2,…,λn\lambda_1, \lambda_2, \dots, \lambda_n，则 A∗A^* 的特征值为 ∣A∣λ1,∣A∣λ2,…,∣A∣λn\frac{|A|}{\lambda_1}, \frac{|A|}{\lambda_2}, \dots, \frac{|A|}{\lambda_n}。理由：由 AA∗=∣A∣IAA^* = |A|I 得 A∗=∣A∣A−1A^* = |A|A^{-1}。若 Ax=λxAx = \lambda x，则 A−1x=1λxA^{-1}x = \frac{1}{\lambda}x，故 A∗x=∣A∣λxA^*x = \frac{|A|}{\lambda}x。秩为 n−1n-1 情形：若 r(A)=n−1r(A) = n-1，则 A∗A^* 恰有一个特征值为 tr(A∗)\text{tr}(A^*)，其余 n−1n-1 个特征值均为 00。理由：此时 r(A∗)=1r(A^*) = 1。秩为 11 的矩阵有 n−1n-1 个零特征值，唯一的非零特征值等于其迹。秩小于 n−1n-1 情形：若 r(A)<n−1r(A) < n-1，则 A∗A^* 的所有特征值均为 00。理由：此时 A∗=OA^* = O，零矩阵的特征值全为 00。特征向量关系：若 λ≠0\lambda \neq 0，则 AA 对应于 λ\lambda 的特征向量也是 A∗A^* 对应于 ∣A∣λ\frac{|A|}{\lambda} 的特征向量。当 AA 不可逆时，对应于零特征值的特征向量属于 A∗A^* 的核空间。

奇技淫巧​

  1. A\bm{\bm{A}} 的特征值为 3,1,1⇒{3,1,1} \Rightarrow 构造 B=A−E\bm{B}=\bm{\bm{A}}-\bm{E}, 对应特征值为 2,0,0⇒r(B)=1,B2,0,0 \Rightarrow \mathrm{r}(\bm{B})=1, \bm{B} 的所有行/列成比例 如果是行变换?(A∣E)→(Λ∣CT)(\bm{A} \mid E) \rightarrow (\Lambda \mid C^T)