跳到主要内容

数学基础 - 微积分

Prompted & drafted by me, markdown generated by Gemini 3 Pro

分部积分法 (Integration by Parts) 终极指南​

核心公式： ∫u dv=uv−∫v du\int u \, \mathrm{d}v = uv - \int v \, \mathrm{d}u

总体策略：选 uu 的原则是使其求导后变简单（降次或有理化），同时剩余部分 dv\mathrm{d}v 必须能积出结果。

1. 基础法则：LIATE / ILATE​

对于大多数形式为 f(x)g(x)f(x)g(x) 的积分，按照以下顺序优先选择 uu（列表首项为 uu，剩余项为 dv\mathrm{d}v）：

  1. L (Logarithmic) - 对数函数 (ln⁡x\ln x)
  2. I (Inverse Trig) - 反三角函数 (arctan⁡x,arcsin⁡x\arctan x, \arcsin x)
  3. A (Algebraic) - 代数/多项式函数 (xn,3x2x^n, 3x^2)
  4. T (Trig) - 三角函数 (sin⁡x,cos⁡x\sin x, \cos x)
  5. E (Exponential) - 指数函数 (exe^x)

注：有时也会采用 ILATE 顺序（反三角优先于对数），但两者本质相同：超越函数(求导反而简单)优先做 uu，易积函数做 dv\mathrm{d}v。

2. 常见类型与应对策略​

I. 多项式 ×\times 指数/三角 (A-T / A-E) —— “降次打击”​

形式：∫P(x)eax dx\int P(x) e^{ax} \, \mathrm{d}x 或 ∫P(x)sin⁡(ax) dx\int P(x) \sin(ax) \, \mathrm{d}x

  • 配置：
    • u=P(x)u = P(x) (多项式)
    • dv=eaxdx\mathrm{d}v = e^{ax}\mathrm{d}x 或 sin⁡(ax)dx\sin(ax)\mathrm{d}x
  • 效果：通过求导使多项式次数降低，重复使用直到多项式变为常数。
  • 示例：∫xcos⁡x dx\int x \cos x \, \mathrm{d}x u=x,dv=cos⁡xdx  ⟹  新积分∫sin⁡xdx(简单)u=x, \quad \mathrm{d}v=\cos x \mathrm{d}x \implies \text{新积分} \int \sin x \mathrm{d}x \quad (\text{简单})

II. 多项式 ×\times 对数/反三角 (A-L / A-I) —— “性质转化”​

形式：∫xnln⁡x dx\int x^n \ln x \, \mathrm{d}x 或 ∫xnarctan⁡x dx\int x^n \arctan x \, \mathrm{d}x

  • 配置：
    • u=ln⁡xu = \ln x 或 arctan⁡x\arctan x (即使 n=0n=0，即只有单项时)
    • dv=xndx\mathrm{d}v = x^n \mathrm{d}x
  • 效果：利用对数/反三角的导数是代数式的特性 (1/x,1/(1+x2)1/x, 1/(1+x^2))，将超越积分转化为有理函数积分。
  • 示例：∫x2ln⁡x dx\int x^2 \ln x \, \mathrm{d}x u=ln⁡x,dv=x2dx  ⟹  新积分∫x33⋅1xdx=13∫x2dxu=\ln x, \quad \mathrm{d}v=x^2 \mathrm{d}x \implies \text{新积分} \int \frac{x^3}{3} \cdot \frac{1}{x} \mathrm{d}x = \frac{1}{3}\int x^2 \mathrm{d}x

III. 指数 ×\times 三角 (E-T) —— “回旋解方程”​

形式：∫eaxsin⁡(bx) dx\int e^{ax} \sin(bx) \, \mathrm{d}x

  • 配置：u,dvu, \mathrm{d}v 可互换，但连续两次分部积分必须保持选择一致。
  • 效果：两次积分后，右边出现与原积分 II 形式相同但系数不同的项，移项解出 II。
  • 示例：I=∫exsin⁡x dxI = \int e^x \sin x \, \mathrm{d}x   ⟹  I=exsin⁡x−excos⁡x−I  ⟹  2I=ex(sin⁡x−cos⁡x)\implies I = e^x \sin x - e^x \cos x - I \implies 2I = e^x(\sin x - \cos x)

IV. 三角函数高次幂 —— “递推降幂”​

形式：∫sec⁡nx dx\int \sec^n x \, \mathrm{d}x 或 ∫sin⁡nx dx\int \sin^n x \, \mathrm{d}x

  • 配置：拆分出一项容易积分的部分作为 dv\mathrm{d}v。
    • 对于 sec⁡nx\sec^n x：u=sec⁡n−2x,dv=sec⁡2xdxu = \sec^{n-2}x, \quad \mathrm{d}v = \sec^2 x \mathrm{d}x (因 (tan⁡x)′=sec⁡2x(\tan x)'=\sec^2 x)。
  • 效果：生成含 In−2I_{n-2} 的递推公式。

3. LIATE 的重要例外与修正​

LIATE 不是万能的。当标准法则导致 dv\mathrm{d}v 无法积分时，需要进行项的拆分与重组。

特例：复合函数需“凑微分” (Decomposition)​

形式：∫x3ex2 dx\int x^3 e^{x^2} \, \mathrm{d}x

  • LIATE 的失效： 若按 LIATE 设 u=x3u=x^3，则 dv=ex2dx\mathrm{d}v=e^{x^2}\mathrm{d}x，但这无法积出初等函数。
  • 正确策略 (拆项法)： 观察到 (ex2)′=2xex2(e^{x^2})' = 2x e^{x^2}，故需从 x3x^3 中借一个 xx 给 dv\mathrm{d}v。
    • 拆分：将被积函数写为 x2⋅(xex2)x^2 \cdot (x e^{x^2})
    • 配置： u=x2→ddu=2x dxu = x^2 \quad \xrightarrow{d} \quad \mathrm{d}u = 2x \, \mathrm{d}x dv=xex2 dx→∫v=12ex2\mathrm{d}v = x e^{x^2} \, \mathrm{d}x \quad \xrightarrow{\int} \quad v = \frac{1}{2}e^{x^2}
  • 结果： ∫x3ex2dx=x2(12ex2)−∫12ex2(2x)dx=12x2ex2−12ex2+C\begin{aligned} \int x^3 e^{x^2} \mathrm{d}x &= x^2(\frac{1}{2}e^{x^2}) - \int \frac{1}{2}e^{x^2} (2x) \mathrm{d}x \\ &= \frac{1}{2}x^2 e^{x^2} - \frac{1}{2}e^{x^2} + C \end{aligned}

4. 总结速查表​

被积函数类型建议 uu建议 dv\mathrm{d}v (其余部分)备注/关键点
xnsin⁡x,xnexx^n \sin x, x^n e^xxnx^nsin⁡xdx,exdx\sin x \mathrm{d}x, e^x \mathrm{d}xLIATE 标准用例，消除 xnx^n
xnln⁡x,xnarctan⁡xx^n \ln x, x^n \arctan xln⁡x,arctan⁡x\ln x, \arctan xxndxx^n \mathrm{d}xLIATE 标准用例，转化超越函数
ln⁡x,arcsin⁡x\ln x, \arcsin xln⁡x,arcsin⁡x\ln x, \arcsin x1 dx1 \, \mathrm{d}x将 11 视为代数项 dv\mathrm{d}v
excos⁡xe^x \cos x均可 (sin⁡/cos⁡\sin/\cos 优先)均可回旋法，需积分两次解方程
x2+a2\sqrt{x^2+a^2}x2+a2\sqrt{x^2+a^2}1 dx1 \, \mathrm{d}x类似回旋法，利用 x2=(x2+a2)−a2x^2 = (x^2+a^2)-a^2
x3ex2x^3 e^{x^2}x2x^2xex2dxx e^{x^2} \mathrm{d}x例外：需拆分项以构造可积的 dv\mathrm{d}v